삼각법 예제

$\csc^{2} (x) = 8 \cot (x) + 10$

단계 1

항등식 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 를 사용하여 $\csc^{2} (x)$ 를 $\cot^{2} (x) + 1$ 로 바꿉니다.

$\cot^{2} (x) + 1 = 8 \cot (x) + 10$

단계 2

$\cot (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} + 1 = 8 (u) + 10$

단계 3

방정식의 양변에서 $8 u$ 를 뺍니다.

$u^{2} + 1 - 8 u = 10$

단계 4

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$u^{2} + 1 - 8 u - 10 = 0$

단계 5

$1$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

단계 6

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 8 u - 9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 9$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 9, 1$

단계 6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

단계 7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 9 = 0$

$u + 1 = 0$

단계 8

$u - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 9 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$u = 9$

단계 9

$u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 1 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u = - 1$

단계 10

$(u - 9) (u + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 9, - 1$

단계 11

$u$ 에 $\cot (x)$ 를 대입합니다.

$\cot (x) = 9, - 1$

단계 12

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cot (x) = 9$

$\cot (x) = - 1$

단계 13

$\cot (x) = 9$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

코탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$x = arccot (9)$

단계 13.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$arccot (9)$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.11065722$

단계 13.3

코탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

단계 13.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 0.11065722$

단계 13.4.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

단계 13.4.3

$3.14159265$ 를 $0.11065722$ 에 더합니다.

$x = 3.25224987$

단계 13.5

$\cot (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 13.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 13.6

함수 $\cot (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n$

단계 14

$\cot (x) = - 1$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

코탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$x = arccot (- 1)$

단계 14.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$arccot (- 1)$ 의 정확한 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

단계 14.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$\frac{3 π}{4} - π$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

단계 14.4.2

결과 각인 $\frac{7 π}{4}$ 은 양의 값을 가지며 $\frac{3 π}{4} - π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = \frac{7 π}{4}$

단계 14.5

$\cot (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 14.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 14.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 14.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 14.6

함수 $\cot (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$

단계 15

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$

단계 16

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$0.11065722 + π n$ , $3.25224987 + π n$ 를 $0.11065722 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$

단계 16.2

$\frac{3 π}{4} + π n$ , $\frac{7 π}{4} + π n$ 를 $\frac{3 π}{4} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$