삼각법 예제

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1

식의 좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$8 \sin^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2

$8 \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2.2

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ 와 $\sin^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2.3

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 $\sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$\sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2.3.2

$\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.3.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1} \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.1.3

$\sin^{3} (x)$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$\sin^{3} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.2.2

분수를 나눕니다.

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 1.2.4

$8 (\sin^{2} (x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

단계 2

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x)$ 에서 $8 \sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$- 8 \sin^{2} (x)$ 에서 $8 \sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1 = 0$

단계 2.2

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1$ 에서 $8 \sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin^{2} (x) = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

단계 4

$\sin^{2} (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$\sin^{2} (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin^{2} (x) = 0$

단계 4.2

$\sin^{2} (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

단계 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sin (x) = \pm 0$

단계 4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$\sin (x) = 0$

단계 4.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 4.2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.4.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 4.2.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 4.2.6

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 4.2.7

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 4.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 4.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 4.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 4.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 4.2.8

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 5

$\tan (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\tan (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) - 1 = 0$

단계 5.2

$\tan (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\tan (x) = 1$

단계 5.2.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (1)$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 5.2.4

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 5.2.5

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 5.2.5.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.5.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 5.2.5.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 5.2.5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.5.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 5.2.5.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 5.2.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 5.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 5.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 5.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 5.2.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.2.7

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 6

$8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 7

답안을 하나로 합합니다.

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단계 7.1

$2 π n$ , $π + 2 π n$ 를 $π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 7.2

$\frac{π}{4} + π n$ , $\frac{5 π}{4} + π n$ 를 $\frac{π}{4} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{4} + π n$