삼각법 예제

$3 \sin^{2} (x) + 1 = 7 \sin (x)$

단계 1

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$3 {(u)}^{2} + 1 = 7 (u)$

단계 2

방정식의 양변에서 $7 u$ 를 뺍니다.

$3 u^{2} + 1 - 7 u = 0$

단계 3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = - 7$ , $c = 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 5.1.2.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12}}{2 \cdot 3}$

단계 5.1.3

$49$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

단계 5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6}$

단계 6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

단계 7

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

단계 8

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

단계 9

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $\frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 10

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$

단계 10.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$\arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.1534747$

단계 10.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

단계 10.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 - 0.1534747$

단계 10.4.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

단계 10.4.3

$3.14159265$ 에서 $0.1534747$ 을 뺍니다.

$x = 2.98811794$

단계 10.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 10.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 10.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 10.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 10.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 10.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$

단계 11

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$