삼각법 예제

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

단계 1

항등식 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 를 사용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

단계 2

다항식을 다시 정렬합니다.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

단계 3

$\tan (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

단계 4

모든 항을 방정식의 좌변으로 옮기고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

단계 4.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

단계 5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 4$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.3

$16$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.4

$20$ 을 $2^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

단계 7.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

단계 9

$u$ 에 $\tan (x)$ 를 대입합니다.

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

단계 10

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

단계 11

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

방정식의 우변의 값을 소수로 바꿉니다.

$\tan (x) = 0.23606797$

단계 11.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (0.23606797)$

단계 11.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$\arctan (0.23606797)$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.2318238$

단계 11.4

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

단계 11.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

단계 11.5.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

단계 11.5.3

$3.14159265$ 를 $0.2318238$ 에 더합니다.

$x = 3.37341645$

단계 11.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 11.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 11.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 11.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 11.7

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$

단계 12

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

방정식의 우변의 값을 소수로 바꿉니다.

$\tan (x) = - 4.23606797$

단계 12.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

단계 12.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$\arctan (- 4.23606797)$ 의 값을 구합니다.

$x = - 1.33897252$

단계 12.4

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

단계 12.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$- 1.33897252 - (3.14159265)$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

단계 12.5.2

결과 각인 $1.80262013$ 은 양의 값을 가지며 $- 1.33897252 - (3.14159265)$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = 1.80262013$

단계 12.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 12.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 12.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 12.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 12.7

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.7.1

$- 1.33897252$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 1.33897252 + π$

단계 12.7.2

소수 근사치로 바꿉니다.

$3.14159265 - 1.33897252$

단계 12.7.3

$3.14159265$ 에서 $1.33897252$ 을 뺍니다.

$1.80262013$

단계 12.7.4

새 각을 나열합니다.

$x = 1.80262013$

단계 12.8

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$

단계 13

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$

단계 14

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$0.2318238 + π n$ , $3.37341645 + π n$ 를 $0.2318238 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$

단계 14.2

$0.2318238 + π n$ , $1.80262013 + π n$ 를 $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$

단계 14.3

$0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , $1.80262013 + π n$ 를 $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$