삼각법 예제

$\sin^{2} (x) + 8 \sin (x) - 4 = 0$

단계 1

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} + 8 (u) - 4 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 8$ , $c = - 4$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$64$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4

$80$ 을 $4^{2} \cdot 5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$80$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

단계 4.3

$\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$u = - 4 \pm 2 \sqrt{5}$

단계 5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

단계 6

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

단계 7

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$

단계 8

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

방정식의 우변의 값을 소수로 바꿉니다.

$\sin (x) = 0.47213595$

단계 8.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0.47213595)$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\arcsin (0.47213595)$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.49171223$

단계 8.4

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

단계 8.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.5.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 - 0.49171223$

단계 8.5.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

단계 8.5.3

$3.14159265$ 에서 $0.49171223$ 을 뺍니다.

$x = 2.64988042$

단계 8.6

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 8.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 8.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 8.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 8.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 8.7

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$

단계 9

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

방정식의 우변의 값을 소수로 바꿉니다.

$\sin (x) = - 8.47213595$

단계 9.2

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- 8.47213595$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 10

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$