삼각법 예제

$\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$

단계 1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\log_{3} (x - 7) + \log_{3} (x + 1) = 2$

단계 2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\log_{3} ((x - 7) (x + 1)) = 2$

단계 3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 7) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{3} (x (x + 1) - 7 (x + 1)) = 2$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 (x + 1)) = 2$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

단계 4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

단계 4.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

단계 4.1.3

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7) = 2$

단계 4.2

$x$ 에서 $7 x$ 을 뺍니다.

$\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$

단계 5

로그의 정의를 이용하여 $\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$3^{2} = x^{2} - 6 x - 7$

단계 6

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

$x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$

단계 6.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{2} - 6 x - 7 = 9$

단계 6.3

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 6 x - 7 - 9 = 0$

단계 6.4

$- 7$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 6 x - 16 = 0$

단계 6.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x - 16$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 16$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 8, 2$

단계 6.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 8) (x + 2) = 0$

단계 6.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 6.7

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.7.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 6.7.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 6.8

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.8.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 6.8.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6.9

$(x - 8) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 2$

단계 7

$\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 8$