삼각법 예제

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

단계 1

항등식 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 를 사용하여 $2 \cot^{2} (x)$ 를 $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ 로 바꿉니다.

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

단계 2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

단계 3

다항식을 다시 정렬합니다.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

단계 4

$\csc (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

단계 5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$3 u$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

단계 5.1.2

$3$ 를 $- 1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

단계 5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

단계 5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

단계 5.3

최대공약수 $2 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

단계 6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

단계 7

$2 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1

$2 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u - 1 = 0$

단계 7.2

$2 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 u = 1$

단계 7.2.2

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2 u = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

단계 7.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{2}$

단계 8

$u + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 2 = 0$

단계 8.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$u = - 2$

단계 9

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

단계 10

$u$ 에 $\csc (x)$ 를 대입합니다.

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

단계 11

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

단계 12

$\csc (x) = \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

코시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $\frac{1}{2}$ 은 이 구간에 속하지 않으므로 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 13

$\csc (x) = - 2$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

코시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코시컨트의 역을 취합니다.

$x = arccsc (- 2)$

단계 13.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$arccsc (- 2)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 13.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 13.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 13.4.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 13.5

$\csc (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 13.6.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

단계 13.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 13.6.3

분수를 통분합니다.

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단계 13.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 13.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 13.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.6.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6}$

단계 13.6.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 13.6.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 13.7

함수 $\csc (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 14

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$