삼각법 예제

$2 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) + 4 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.1

$u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sin (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 u^{2} + 6 u + 4 = 0$

단계 1.2

$2 u^{2} + 6 u + 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$2 u^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (u^{2}) + 6 u + 4 = 0$

단계 1.2.2

$6 u$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (u^{2}) + 2 (3 u) + 4 = 0$

단계 1.2.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 u^{2} + 2 (3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

단계 1.2.4

$2 u^{2} + 2 (3 u)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (u^{2} + 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

단계 1.2.5

$2 (u^{2} + 3 u) + 2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (u^{2} + 3 u + 2) = 0$

단계 1.3

인수분해합니다.

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단계 1.3.1

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 3 u + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$1, 2$

단계 1.3.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$2 ((u + 1) (u + 2)) = 0$

단계 1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (u + 1) (u + 2) = 0$

단계 1.4

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 2 = 0$

단계 3

$\sin (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$\sin (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) + 1 = 0$

단계 3.2

$\sin (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\sin (x) = - 1$

단계 3.2.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- 1)$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{2}$

단계 3.2.4

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 3.2.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 3.2.5.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 3.2.6

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 3.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 3.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 3.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 3.2.7

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 3.2.7.1

$- \frac{π}{2}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

단계 3.2.7.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.2.7.3

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.7.3.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 3.2.7.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 3.2.7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.7.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π - π}{2}$

단계 3.2.7.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{2}$

단계 3.2.7.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 3.2.8

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 4

$\sin (x) + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$\sin (x) + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) + 2 = 0$

단계 4.2

$\sin (x) + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\sin (x) = - 2$

단계 4.2.2

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- 2$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 5

$2 (\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$