삼각법 예제

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

단계 1

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $4 \cos^{2} (x)$ 를 $4 (1 - \sin^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

단계 2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

단계 2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

단계 3

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

단계 4

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

단계 5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 4 u^{2} - 4 u - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 4 u^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

단계 5.1.2

$- 4 u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

단계 5.1.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 5.1.4

$- (4 u^{2}) - (4 u)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 5.1.5

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

단계 5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4 u^{2}$ 을 ${(2 u)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

단계 5.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

단계 5.2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

단계 5.2.4

다항식을 다시 씁니다.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 5.2.5

$a = 2 u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

단계 6

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 6.2.2

${(2 u + 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

단계 7

$2 u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u + 1 = 0$

단계 8

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 u = - 1$

단계 8.2

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 8.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 1}{2}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1}{2}$

단계 9

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

단계 10

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

단계 11

우변을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 12

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 13

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 13.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 14

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 14.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 14.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 14.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 14.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 15

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 15.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

단계 15.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 15.3

분수를 통분합니다.

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단계 15.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 15.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 15.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6}$

단계 15.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 15.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 16

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$