삼각법 예제

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 y^{2} - 8 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

단계 1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

단계 1.1.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 4}{4}$

단계 1.1.3.2.2

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

단계 1.1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

단계 1.1.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

단계 1.1.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 1.1.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{16}$

단계 1.1.4.2.1.3

$64$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 1.1.4.2.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 1.1.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

단계 1.2

$4 y^{2} - 8 y$ 를 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

단계 1.3

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

단계 1.4

$- 25 x^{2} + 100 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

단계 1.4.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.4.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

단계 1.4.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1

$100$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1.1

$100$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

단계 1.4.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 25$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

단계 1.4.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

단계 1.4.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{50}{- 25}$

단계 1.4.3.2.2

$50$ 및 $- 25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.2.1

$50$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

단계 1.4.3.2.2.2

$\frac{2}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 2$

단계 1.4.3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = - 2$

단계 1.4.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

단계 1.4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.2.1.1

$100$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

단계 1.4.4.2.1.2

$4$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

단계 1.4.4.2.1.3

$10000$ 을 $- 100$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 100$

단계 1.4.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 100$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 100$

단계 1.4.4.2.2

$0$ 를 $100$ 에 더합니다.

$e = 100$

단계 1.4.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ 에 대입합니다.

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

단계 1.5

$- 25 x^{2} + 100 x$ 를 $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ 로 바꿔 방정식 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

단계 1.6

양변에 $100$ 을 더하여 $100$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

단계 1.7

$196 + 4 - 100$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$196$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

단계 1.7.2

$200$ 에서 $100$ 을 뺍니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

단계 1.8

각 항을 $100$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

단계 1.9

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

단계 4

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

단계 5

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

단계 5.2

$\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.3

$\frac{5}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

단계 5.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

단계 5.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

단계 5.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

단계 5.2.1.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

단계 5.2.2

$- 5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

단계 6

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

단계 6.2

$- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

단계 6.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

단계 6.2.1.3

$x$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

단계 6.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.4.1

$- \frac{5}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

단계 6.2.1.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

단계 6.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

단계 6.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

단계 6.2.1.5

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

단계 6.2.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

단계 6.2.2

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

단계 7

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

단계 8

점근선은 $y = \frac{5 x}{2} - 4$ , $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ 입니다.

점근선: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

단계 9