삼각법 예제

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $2 \cos (x)$ 를 뺍니다.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $4 \sin^{2} (x)$ 를 $4 (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

단계 5

$\cos (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

단계 6

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7

이차함수의 근의 공식에 $a = - 4$ , $b = - 2$ , $c = 3$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.2

$- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.2.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.2.2

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.3

$4$ 를 $48$ 에 더합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.4

$52$ 을 $2^{2} \cdot 13$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.1.4.1

$52$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

단계 8.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

단계 8.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

단계 8.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

단계 9

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

단계 10

$u$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

단계 11

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

단계 12

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 13

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

단계 13.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.86138422$

단계 13.3

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

단계 13.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

단계 13.4.2

$2 (3.14159265) - 0.86138422$ 을 간단히 합니다.

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단계 13.4.2.1

$2$ 에 $3.14159265$ 을 곱합니다.

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

단계 13.4.2.2

$6.2831853$ 에서 $0.86138422$ 을 뺍니다.

$x = 5.42180108$

단계 13.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 13.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 13.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 13.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 13.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$

단계 14

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$