삼각법 예제

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

단계 1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

단계 2

$\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 4 \cos (2 x)$ 을 $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

단계 2.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

단계 2.1.3

괄호를 표시합니다.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

단계 2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

단계 3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

단계 3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

단계 4

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.1.2.2

$\cos (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

단계 5.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\cos (2 x) \leq 0$

단계 5.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$2 x \leq \arccos (0)$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$2 x \leq \frac{π}{2}$

단계 5.4

$2 x \leq \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 x \leq \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 5.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 5.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 5.4.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x \leq \frac{π}{4}$

단계 5.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 5.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.6.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.6.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 5.6.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 5.6.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 5.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 5.6.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

단계 5.6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 5.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

단계 5.6.2.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 5.7

$\cos (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 5.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 5.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 5.7.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.8

함수 $\cos (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$

단계 5.9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

단계 5.10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

단계 5.11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 5.11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

단계 5.11.1.3

좌변 $0.65364362$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 5.11.2

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.2.1

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 5.11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

단계 5.11.2.3

좌변 $- 0.96017028$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.11.3

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 참

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 거짓

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 참

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 거짓

단계 5.12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$

단계 6

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

조건제시법:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

단계 7