삼각법 예제

$\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

단계 1

평면에 $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ 는 $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 3

$\frac{x}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 4.6.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 5

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 5.1

$\frac{x \sqrt{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 5.2

$x \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 6.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 8

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

$x^{2} \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\sqrt{\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 11

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{x}$

단계 12

조합합니다.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

단계 13

$\sqrt{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

단계 13.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{x}$