삼각법 예제

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

단계 1

$\tan (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, u, 1, 1$

단계 2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$u$

단계 3

$u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ 의 각 항에 $u$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ 의 각 항에 $u$ 을 곱합니다.

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

단계 3.2.1.2

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

단계 3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

단계 4

부등식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u$ 이 부등식의 좌변으로 가도록 식을 다시 씁니다.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

단계 4.2

부등식의 양변에서 $u^{2}$ 를 뺍니다.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

단계 4.3

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

단계 4.4

방정식의 양변에서 $\sqrt{3}$ 를 뺍니다.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

단계 4.5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

단계 4.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

단계 4.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

단계 4.5.3

최대공약수 $- u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

단계 4.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

단계 4.7

$- u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$- u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- u + 1 = 0$

단계 4.7.2

$- u + 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- u = - 1$

단계 4.7.2.2

$- u = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.2.1

$- u = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.7.2.2.2.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 1}{- 1}$

단계 4.7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$u = 1$

단계 4.8

$u - \sqrt{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$u - \sqrt{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - \sqrt{3} = 0$

단계 4.8.2

방정식의 양변에 $\sqrt{3}$ 를 더합니다.

$u = \sqrt{3}$

단계 4.9

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 1, \sqrt{3}$

단계 5

$u$ 에 $\tan (x)$ 를 대입합니다.

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

단계 6

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

단계 7

$\tan (x) = 1$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (1)$

단계 7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 7.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 7.4

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 7.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 7.4.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 7.5

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 7.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 7.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 7.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 7.6

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 8

$\tan (x) = \sqrt{3}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

단계 8.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 8.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{3}$

단계 8.4

$π + \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

단계 8.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.2.1

$π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

단계 8.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

단계 8.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

단계 8.4.3.2

$3 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{4 π}{3}$

단계 8.5

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 8.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 8.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 8.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 8.6

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$

단계 9

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{π}{4} + π n$ , $\frac{5 π}{4} + π n$ 를 $\frac{π}{4} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$

단계 10.2

$\frac{π}{3} + π n$ , $\frac{4 π}{3} + π n$ 를 $\frac{π}{3} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$

단계 11

$\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\tan (x)$ 의 진수를 $\frac{π}{2} + π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 11.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\cot (x)$ 의 진수를 $π n$ 과 같게 설정해야 합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

임의의 정수 $n$ 에 대한 ${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

단계 13.1.3

좌변 $2.66954475$ 이 우변 $2.7320508$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.2

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

단계 13.2.3

좌변 $- 2.97772599$ 이 우변 $2.7320508$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.3

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

단계 13.3.3

좌변 $2.65377824$ 이 우변 $2.7320508$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 참

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 참

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 참

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 참

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 참

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

단계 15

구간을 조합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$

단계 16