삼각법 예제

$\tan (\arcsin (x - 1))$

단계 1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (x - 1)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (\arcsin (x - 1))$ 는 $\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x - 1$ 입니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

단계 2.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

단계 2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

단계 2.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

단계 3

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 에 $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

단계 4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x - 1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 에 $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

단계 4.2

$\sqrt{x (- x + 2)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

단계 4.3

$\sqrt{x (- x + 2)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

단계 4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

단계 4.6

${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ 을 $x (- x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x (- x + 2)}$ 을(를) ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

단계 4.6.5

간단히 합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

단계 5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

단계 6

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

단계 7

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

단계 8

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 8.1

$- (x - 2)$ 을 $- 1 (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

단계 8.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$

단계 8.3

$- \frac{(x - 1) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)} (x - 1)}{x (x - 2)}$