삼각법 예제

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

단계 1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{5}{x})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ 는 $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

조합합니다.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

단계 3.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

단계 4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{5}{x}$ 입니다.

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

단계 4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

단계 4.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

단계 4.4

$\frac{x + 5}{x}$ 에 $\frac{x - 5}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

단계 4.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

단계 4.6

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.6.1

$(x + 5) (x - 5)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

단계 4.6.2

$x^{2}$ 에서 완전제곱인 $x^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

단계 4.6.3

분수 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

단계 4.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

단계 4.8

$\frac{1}{x}$ 와 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

단계 5

$x$ 와 $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

단계 6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

단계 6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

단계 6.2

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

단계 7

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

단계 8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

단계 8.2

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

단계 8.3

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

단계 8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

단계 8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

단계 8.6

${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ 을 $(x + 5) (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ 을(를) ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

단계 8.6.5

간단히 합니다.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$