삼각법 예제

$\cos (3 x) = \cos (x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $\cos (x)$ 를 뺍니다.

$\cos (3 x) - \cos (x) = 0$

단계 2

식의 좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

삼배각 공식을 사용하여 $\cos (3 x)$ 를 $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) - \cos (x) = 0$

단계 2.2

$- 3 \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) = 0$

단계 3

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 3.1

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ 에서 $4 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$4 \cos^{3} (x)$ 에서 $4 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) = 0$

단계 3.1.2

$- 4 \cos (x)$ 에서 $4 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

단계 3.1.3

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1$ 에서 $4 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

단계 3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

단계 3.3

인수분해합니다.

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단계 3.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \cos (x)$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$4 \cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

단계 3.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 5

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 5.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 5.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 5.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 5.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 5.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 5.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 6

$\cos (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\cos (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) + 1 = 0$

단계 6.2

$\cos (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\cos (x) = - 1$

단계 6.2.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- 1)$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 의 정확한 값은 $π$ 입니다.

$x = π$

단계 6.2.4

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - π$

단계 6.2.5

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 6.2.6

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.2.7

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π + 2 π n$

단계 7

$\cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 7.2

$\cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\cos (x) = 1$

단계 7.2.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (1)$

단계 7.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - 0$

단계 7.2.5

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 7.2.6

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 7.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 7.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 7.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 7.2.7

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 8

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π n}{2}$