삼각법 예제

$\cos^{2} (x) - 9 \cos (x) - 1 = 0$

단계 1

$\cos (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} - 9 u - 1 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 9$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 9$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$81$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

단계 5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

단계 6

$u$ 에 $\cos (x)$ 를 대입합니다.

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}, \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

단계 7

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$

$\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$

단계 8

$\cos (x) = \frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

코사인의 치역은 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $\frac{9 + \sqrt{85}}{2}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 9

$\cos (x) = \frac{9 - \sqrt{85}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$

단계 9.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\arccos (\frac{9 - \sqrt{85}}{2})$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.68079021$

단계 9.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

단계 9.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 2 (3.14159265) - 1.68079021$

단계 9.4.2

$2 (3.14159265) - 1.68079021$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.2.1

$2$ 에 $3.14159265$ 을 곱합니다.

$x = 6.2831853 - 1.68079021$

단계 9.4.2.2

$6.2831853$ 에서 $1.68079021$ 을 뺍니다.

$x = 4.60239508$

단계 9.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 9.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 9.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 9.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 9.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 9.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$

단계 10

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.68079021 + 2 π n, 4.60239508 + 2 π n$