삼각법 예제

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$\csc^{2} (x) = 2$

단계 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

단계 3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

단계 3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

단계 4

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

단계 5

$\csc (x) = \sqrt{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

코시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코시컨트의 역을 취합니다.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$arccsc (\sqrt{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 5.3

코시컨트 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{4}$

단계 5.4

$π - \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 5.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.4.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 5.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

단계 5.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

단계 5.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 5.5

$\csc (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 5.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 5.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 5.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 5.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5.6

함수 $\csc (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$

단계 6

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

코시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코시컨트의 역을 취합니다.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

단계 6.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{4}$

단계 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

단계 6.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

단계 6.4.2

결과 각인 $\frac{5 π}{4}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 6.5

$\csc (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 6.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 6.6.1

$- \frac{π}{4}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

단계 6.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 6.6.3

분수를 통분합니다.

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단계 6.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 6.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

단계 6.6.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.6.4.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 π - π}{4}$

단계 6.6.4.2

$8 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{7 π}{4}$

단계 6.6.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{7 π}{4}$

단계 6.7

함수 $\csc (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$

단계 7

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$

단계 8

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$