삼각법 예제

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

단계 3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 에 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

단계 3.2

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 에 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1 + \cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.2

$1 + \cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.5

$(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 을 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - {(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1 + \cos (x)$ 이고 $b = 1 - \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7

간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(2 + \cos (x) - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.2

$\cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{(2 + 0) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.6

$- - \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.7.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.6.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.7

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (0 + \cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.8

$0$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 (\cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.9

$\cos (x)$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 5.7.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$