삼각법 예제

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

단계 1

$\tan (112.5)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\tan (112.5)$ 의 정확한 값은 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

여섯 개의 삼각함수 값을 알고 있는 각을 $2$ 로 나누어 $112.5$ 를 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

단계 2.1.2

탄젠트 반각공식을 적용합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.2

$\cos (45)$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.7

$\cos (45)$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.10

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.11

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.11.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.11.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 에 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

단계 2.1.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 에 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

단계 2.1.4.14

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

단계 2.1.4.15

간단히 합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.16

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.17

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.17.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.17.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.18

$\sqrt{2}$ 와 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.2

$\sqrt{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.3

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.19.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.4.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.19.5.1

$2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.3

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.19.5.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

단계 2.1.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

단계 2.1.4.20

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

단계 2.1.4.21

$\sqrt{2}$ 를 $\sqrt{2}$ 에 더합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

단계 2.2

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

단계 2.3

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(- 1)}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

단계 2.3.2

${(- 1)}^{2}$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

단계 2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

단계 2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

단계 2.4

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

단계 2.5

${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ 을 $3 + 2 \sqrt{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 을(를) ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

단계 2.5.5

간단히 합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

단계 2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

단계 2.7

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

단계 2.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

단계 2.9

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

단계 4

$\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

단계 5

$\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

단계 6

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

단계 8

$- 2 + 2 \sqrt{2}$ 및 $- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

단계 8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

단계 8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

단계 9

$- 2 + 2 \sqrt{2}$ 및 $- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

단계 9.2

$\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

단계 10

$- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ 을 $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ 로 바꿔 씁니다.

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

단계 11

$0.60355339$ 에 $- 2 + 2 \sqrt{2}$ 을 곱합니다.

$- (- 1 \cdot 0.5)$

단계 12

$- (- 1 \cdot 0.5)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$- 1$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$- - 0.5$

단계 12.2

$- 1$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$0.5$