삼각법 예제

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

단계 1

삼각함수의 합의 공식을 이용합니다.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

함수 사인과 아크사인은 역함수입니다.

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

단계 2.2

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

단계 2.3

평면에 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

단계 2.4

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

단계 2.5

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

단계 2.6

평면에 $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ , $(y, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (y)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (y))$ 는 $\sqrt{1 - y^{2}}$ 입니다.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

단계 2.7

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

단계 2.8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

단계 2.9

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$