삼각법 예제

$\cos (2 \arccos (x))$

단계 1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

단계 2.2

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

단계 2.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

단계 2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

단계 2.5

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을(를) ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 2.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 2.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

단계 2.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

단계 2.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

단계 2.5.5

간단히 합니다.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

단계 2.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

단계 2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

단계 2.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

단계 2.7.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

단계 2.7.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

단계 2.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

단계 2.7.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

단계 2.7.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

단계 2.7.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

단계 2.7.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - (1 - x^{2})$

단계 2.8

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

단계 2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

단계 2.10

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

단계 2.10.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 1 + x^{2}$

단계 3

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 1$