삼각법 예제

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

단계 2

분수를 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ 에 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ 에 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.1.2

$\tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.1.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.2

$\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 6

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 6.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 6.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.2

$- \sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.4.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.4.2

$\sin (x) \cos (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.4.3

$\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\cos (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.7

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.7.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.7.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.1.7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.2

$\sin (x)$ 와 $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.4

조합합니다.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

단계 7.5

$\sin (x)$ 및 ${\sin (x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.1

$\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

단계 7.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.2.1

$\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

단계 7.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

단계 7.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 7.6

$1 + {\cos (x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 8

이제 방정식의 우변을 살펴봅니다.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

단계 9

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 9.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

단계 9.2

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

단계 9.3

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 11

분수를 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 11.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\sin (x) \cos (x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 11.2.2

$\sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 12

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

단계 14

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \cot (x) + \sec (x) \csc (x)$ 은 항등식입니다