삼각법 예제

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

단계 2

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ 에 $\frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1} \cdot \frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$

단계 3

조합합니다.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x) + 1)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x) \cdot 1}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

단계 4.2

$\cot (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

단계 4.3

$\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x) + 1) + 1 (- \csc (x) + 1)}$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x) + 1)}$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + 1 \cdot 1}$

단계 5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

단계 6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 6.1

$- \csc^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

단계 6.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

단계 6.3

$- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

단계 6.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

단계 7

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 7.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

단계 7.2

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

단계 7.3

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

단계 7.4

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

단계 7.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${\sin (x)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.4.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.4.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.4.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.6

$- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.6.1

$- \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.6.2

$\cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.6.3

$\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

단계 8.7

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.7.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 8.7.2

${\cos (x)}^{2}$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 8.7.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 8.7.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

단계 8.8

${\sin (x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.8.1

$- {\sin (x)}^{2}$ 에서 ${\sin (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

단계 8.8.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

단계 8.8.3

수식을 다시 씁니다.

$(- 1 + \sin (x)) \frac{- 1}{\cos (x)}$

단계 8.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(- 1 + \sin (x)) (- \frac{1}{\cos (x)})$

단계 8.10

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

단계 8.11

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ 을 곱합니다.

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단계 8.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

단계 8.11.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

단계 8.12

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 9

이제 방정식의 좌변을 살펴 봅니다.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

단계 10

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 10.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

단계 10.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 11.3

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 11.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 11.4

$- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 12

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ 은 항등식입니다