삼각법 예제

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

단계 2

분수를 뺍니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ 에 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$ 에 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

단계 2.3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.3

$0$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 3.4

$- \cos (x)$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 7

$- 1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8

조합합니다.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

단계 9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

단계 10

${\sin (x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 12

이제 방정식의 우변을 살펴봅니다.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

단계 13

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 13.1

삼각함수의 역수 관계를 $\csc (x)$ 에 적용합니다.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

단계 13.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 14.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 14.3

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 14.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{2}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

단계 14.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

단계 14.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

단계 14.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

단계 14.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 14.4

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 15

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ 은 항등식입니다