삼각법 예제

${(2 - 2 i)}^{5}$

단계 1

이항정리 이용

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.3

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.4

$- 2$ 에 $80$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.6

$10$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.7

$- 2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.8

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.9

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.10

$80 (4 \cdot - 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.10.2

$80$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.12

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.13

$- 2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.14

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.15

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.16

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.17

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.18

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.19

$8$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.20

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.21

$- 2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.22

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.23

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.23.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.23.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.23.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.24

$10 (16 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.24.2

$10$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

단계 2.1.25

$- 2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

단계 2.1.26

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

단계 2.1.27

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

단계 2.1.28

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.28.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

단계 2.1.28.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

단계 2.1.28.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

단계 2.1.29

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$32$ 에서 $320$ 을 뺍니다.

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

단계 2.2.2

$- 288$ 를 $160$ 에 더합니다.

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

단계 2.2.3

$- 160 i$ 를 $320 i$ 에 더합니다.

$- 128 + 160 i - 32 i$

단계 2.2.4

$160 i$ 에서 $32 i$ 을 뺍니다.

$- 128 + 128 i$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = - 128$ 과 $b = 128$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$128$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

단계 6.2

$- 128$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

단계 6.3

$16384$ 를 $16384$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{32768}$

단계 6.4

$32768$ 을 $128^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$32768$ 에서 $16384$ 를 인수분해합니다.

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

단계 6.4.2

$16384$ 을 $128^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

단계 6.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

단계 8

$\frac{128}{- 128}$ 에 역 탄젠트를 취하면 제2사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{3 π}{4}$ 입니다.

$θ = \frac{3 π}{4}$

단계 9

$θ = \frac{3 π}{4}$ , $| z | = 128 \sqrt{2}$ 값을 대입합니다.

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$