삼각법 예제

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

항을 다시 배열합니다.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

단계 2.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \tan (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.3.3.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 2.4.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

단계 2.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

단계 2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1.5.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.6

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.7

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.1.5.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.2

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 를 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 더합니다.

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.7.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

단계 2.8

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

단계 2.9

$\cos^{2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

단계 2.10

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.10.1

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

단계 2.10.2

공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

단계 2.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 2.11

코사인 배각공식을 적용합니다.

$\cos (2 x)$

단계 3

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ 은 항등식입니다