삼각법 예제

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

단계 1

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ 을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\tan^{4} (x)$ 을 ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

단계 1.2

$u = \tan^{2} (x)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\tan^{2} (x)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

단계 1.3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 20 u + 64$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $64$ 이고 합은 $- 20$ 입니다.

$- 16, - 4$

단계 1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

단계 1.4

$u$ 를 모두 $\tan^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

단계 1.5

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

단계 1.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \tan (x)$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

단계 1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

단계 1.8

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \tan (x)$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

단계 1.8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

단계 3

$\tan (x) + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\tan (x) + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) + 4 = 0$

단계 3.2

$\tan (x) + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$\tan (x) = - 4$

단계 3.2.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 4)$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$\arctan (- 4)$ 의 값을 구합니다.

$x = - 1.32581766$

단계 3.2.4

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

단계 3.2.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$- 1.32581766 - (3.14159265)$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

단계 3.2.5.2

결과 각인 $1.81577498$ 은 양의 값을 가지며 $- 1.32581766 - (3.14159265)$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = 1.81577498$

단계 3.2.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 3.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 3.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 3.2.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 3.2.7

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

$- 1.32581766$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 1.32581766 + π$

단계 3.2.7.2

소수 근사치로 바꿉니다.

$3.14159265 - 1.32581766$

단계 3.2.7.3

$3.14159265$ 에서 $1.32581766$ 을 뺍니다.

$1.81577498$

단계 3.2.7.4

새 각을 나열합니다.

$x = 1.81577498$

단계 3.2.8

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$

단계 4

$\tan (x) - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\tan (x) - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) - 4 = 0$

단계 4.2

$\tan (x) - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$\tan (x) = 4$

단계 4.2.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (4)$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$\arctan (4)$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.32581766$

단계 4.2.4

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

단계 4.2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

단계 4.2.5.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

단계 4.2.5.3

$3.14159265$ 를 $1.32581766$ 에 더합니다.

$x = 4.46741031$

단계 4.2.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 4.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 4.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 4.2.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 4.2.7

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$

단계 5

$\tan (x) + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\tan (x) + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) + 2 = 0$

단계 5.2

$\tan (x) + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\tan (x) = - 2$

단계 5.2.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- 2)$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\arctan (- 2)$ 의 값을 구합니다.

$x = - 1.10714871$

단계 5.2.4

탄젠트 함수는 제2사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 제3사분면에 속한 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 뺍니다.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

단계 5.2.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$- 1.10714871 - (3.14159265)$ 에 $2 π$ 를 더합니다.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

단계 5.2.5.2

결과 각인 $2.03444393$ 은 양의 값을 가지며 $- 1.10714871 - (3.14159265)$ 과 양변을 공유하는 관계입니다

$x = 2.03444393$

단계 5.2.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 5.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 5.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 5.2.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.2.7

모든 음의 각에 $π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$- 1.10714871$ 에 $π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 1.10714871 + π$

단계 5.2.7.2

소수 근사치로 바꿉니다.

$3.14159265 - 1.10714871$

단계 5.2.7.3

$3.14159265$ 에서 $1.10714871$ 을 뺍니다.

$2.03444393$

단계 5.2.7.4

새 각을 나열합니다.

$x = 2.03444393$

단계 5.2.8

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$

단계 6

$\tan (x) - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\tan (x) - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) - 2 = 0$

단계 6.2

$\tan (x) - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$\tan (x) = 2$

단계 6.2.2

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (2)$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$\arctan (2)$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.10714871$

단계 6.2.4

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

단계 6.2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

단계 6.2.5.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

단계 6.2.5.3

$3.14159265$ 를 $1.10714871$ 에 더합니다.

$x = 4.24874137$

단계 6.2.6

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 6.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 6.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 6.2.6.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 6.2.7

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$

단계 7

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$

단계 8

답안을 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$1.81577498 + π n$ , $1.81577498 + π n$ 를 $1.81577498 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$

단계 8.2

$1.32581766 + π n$ , $4.46741031 + π n$ 를 $1.32581766 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$

단계 8.3

$2.03444393 + π n$ , $2.03444393 + π n$ 를 $2.03444393 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$

단계 8.4

$1.10714871 + π n$ , $4.24874137 + π n$ 를 $1.10714871 + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$