삼각법 예제

$\sin (x) - \cos (x) = \sqrt{2}$

단계 1

항등식을 이용해 방정식을 풉니다. 이 항등식에서 $θ$ 는 점 $(a, b)$ 를 그래프에 표시하면서 생겨난 각이므로 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 를 사용해 구할 수 있습니다.

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 일 때 $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ 입니다

단계 2

$θ$ 의 값을 구하는 식을 세웁니다.

$\tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

단계 3

역탄젠트를 취해 방정식을 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{1}{1})$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

단계 3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

단계 3.3

$\tan^{-1} (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$θ = - \frac{π}{4}$

단계 4

식을 풀어 $R$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$R = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}$

단계 4.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$R = \sqrt{1 + 1}$

단계 4.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$R = \sqrt{2}$

단계 5

방정식에 알고 있는 값을 대입합니다.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

단계 6

$\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 의 각 항을 $\sqrt{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 의 각 항을 $\sqrt{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\sqrt{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 6.2.1.2

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\sqrt{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 6.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

단계 7

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (1)$

단계 8

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\sin^{-1} (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

단계 9

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{4}$ 를 더합니다.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

단계 9.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

단계 9.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

단계 9.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

단계 9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

단계 9.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

단계 9.5.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 10

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

단계 11

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 11.1.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 11.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 11.1.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 11.1.3.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

단계 11.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{4}$ 를 더합니다.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

단계 11.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

단계 11.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

단계 11.2.5.2

$2 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 π}{4}$

단계 12

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13

함수 $\sin (x - \frac{π}{4})$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{4} + 2 π n$