삼각법 예제

${(1 + i)}^{5}$

단계 1

이항정리 이용

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.5

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.6

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.7

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.9

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.10

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.11

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.12

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.13

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.14

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

단계 2.1.15

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

단계 2.1.15.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

단계 2.1.15.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

단계 2.1.16

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

단계 2.1.17

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

단계 2.1.18

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.18.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

단계 2.1.18.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

단계 2.1.18.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

단계 2.1.19

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

단계 2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$1$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

단계 2.2.2

$- 9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

단계 2.2.3

$5 i$ 에서 $10 i$ 을 뺍니다.

$- 4 - 5 i + i$

단계 2.2.4

$- 5 i$ 를 $i$ 에 더합니다.

$- 4 - 4 i$

단계 3

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 4

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 5

실제값인 $a = - 4$ 과 $b = - 4$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

단계 6

$| z |$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

단계 6.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

단계 6.3

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$| z | = \sqrt{32}$

단계 6.4

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

단계 6.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

단계 6.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

단계 7

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4})$

단계 8

$\frac{- 4}{- 4}$ 에 역탄젠트를 취하면 제3사분면의 각이 나오며 이 각의 값은 $\frac{5 π}{4}$ 입니다.

$θ = \frac{5 π}{4}$

단계 9

$θ = \frac{5 π}{4}$ , $| z | = 4 \sqrt{2}$ 값을 대입합니다.

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$