삼각법 예제

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

${(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}^{2}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 을 $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.2.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.3

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.3.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.3.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 2.3.3.1.4

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.3.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.4

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.5

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.8

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

단계 2.3.3.1.4.9

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

단계 2.3.3.1.4.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

단계 2.3.3.1.4.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 2.3.3.2

$- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ 에서 $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 2 \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 2.3.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$- 2$ 와 $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 2.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$- 2 \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.1.2

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.1.3

$\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + \sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.2

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.3

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.3.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.3.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

단계 3.3.4.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.3.4.4

$a = 1$ 이고 $b = \sin (x)$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

단계 5.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

단계 5.2

${(1 - \sin (x))}^{2}$ 및 $1 - \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2} = \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 은 항등식입니다