삼각법 예제

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\cos (x) (1 + \sin (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

단계 2.3.3

$(1 + \sin (x)) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.3

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.4

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.2.1.4.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.4.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.2.2

$\sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.3

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.4

인수분해된 형태로 $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.5.4.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.4.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.4.3

$2 + 2 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.4.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.5.4.3.2

$2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.6

$1 + \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

단계 2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\cos (x)}$

단계 3

$\frac{2}{\cos (x)}$ 을 $2 \sec (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sec (x)$

단계 4

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = 2 \sec (x)$ 은 항등식입니다