삼각법 예제

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

단계 1

항등식을 이용해 방정식을 풉니다. 이 항등식에서 $θ$ 는 점 $(a, b)$ 를 그래프에 표시하면서 생겨난 각이므로 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 를 사용해 구할 수 있습니다.

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ 일 때 $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ 입니다

단계 2

$θ$ 의 값을 구하는 식을 세웁니다.

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

단계 3

역탄젠트를 취해 방정식을 $θ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

단계 3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

단계 3.3

$\tan^{-1} (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$θ = - \frac{π}{4}$

단계 4

식을 풀어 $R$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

단계 4.2

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$R = \sqrt{9 + 9}$

단계 4.3

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$R = \sqrt{18}$

단계 4.4

$18$ 을 $3^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$R = \sqrt{9 (2)}$

단계 4.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

단계 4.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$R = 3 \sqrt{2}$

단계 5

방정식에 알고 있는 값을 대입합니다.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

단계 6

$3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ 의 각 항을 $3 \sqrt{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ 의 각 항을 $3 \sqrt{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

단계 6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

단계 6.2.2

$\sqrt{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

단계 6.2.2.2

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 6.3.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 6.3.2.2

$\sqrt{2}$ 를 옮깁니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

단계 6.3.2.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

단계 6.3.2.4

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

단계 6.3.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 6.3.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

단계 6.3.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6.3.2.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 6.3.2.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.3.2.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

단계 6.3.2.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

단계 6.3.2.7.5

지수값을 계산합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

단계 6.3.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

단계 7

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

단계 8

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ 의 값을 구합니다.

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

단계 9

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{4}$ 를 더합니다.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

단계 9.2

$0.23794112$ 를 $\frac{π}{4}$ 에 더합니다.

$x = 1.02333928$

단계 10

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

단계 11

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$3.14159265$ 에서 $0.23794112$ 을 뺍니다.

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

단계 11.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{4}$ 를 더합니다.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

단계 11.2.2

$2.90365152$ 를 $\frac{π}{4}$ 에 더합니다.

$x = 3.68904969$

단계 12

$\sin (x - \frac{π}{4})$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 13

함수 $\sin (x - \frac{π}{4})$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$