삼각법 예제

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\tan (2 x)$

단계 2

탄젠트 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

단계 3

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 3.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

단계 3.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 와 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 4.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 4.2.2

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ 을 ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 4.2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 입니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

단계 4.2.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

단계 4.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

단계 4.2.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

단계 4.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 4.3

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

단계 4.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

단계 4.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

단계 4.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

단계 4.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

단계 4.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 4.6

조합합니다.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

단계 4.7

${\cos (x)}^{2}$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

단계 6

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ 을 $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

단계 7

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ 은 항등식입니다