삼각법 예제

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

단계 2

분수를 더합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1 + \sec (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1 - \sec (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{1 + \sec (x)}$ 에 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1}{1 - \sec (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{1 - \sec (x)}$ 에 $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

단계 2.3.3

$(1 - \sec (x)) (1 + \sec (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1 - \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))} + \frac{1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \sec (x) + 1 + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 - \sec (x) + \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 3.2

$- \sec (x)$ 를 $\sec (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (x)}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 5.1

$1$ 와 $- \sec^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) + 1}$

단계 5.2

$- \sec^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

단계 5.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

단계 5.4

$- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

단계 5.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2}{- \tan^{2} (x)}$

단계 6

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 6.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 6.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 7.2

$2 (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.2.2

$- 2$ 와 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8

$- 1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 9

조합합니다.

$\frac{- (2 \cos^{2} (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

단계 10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

단계 11

${\sin (x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 13

이제 방정식의 우변을 살펴봅니다.

$- 2 \cot^{2} (x)$

단계 14

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 14.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$- 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

단계 14.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$- 2$ 와 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 15.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 16

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{1 + \sec (x)} + \frac{1}{1 - \sec (x)} = - 2 \cot^{2} (x)$ 은 항등식입니다