삼각법 예제

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

단계 2

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

단계 3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \sin (x)$ 입니다.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

단계 4

피타고라스의 정리를 반대로 적용합니다.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

단계 5

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 5.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

단계 5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.2

$- \sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.3

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.4

$\sin (x) (- \sin (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1.4.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.4.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.2

$- \sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

단계 6.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

단계 6.3

$- {\sin (x)}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 7

$- \sin^{2} (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 8

분수를 더합니다.

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단계 8.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.2

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 에 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 10

이제 방정식의 좌변을 살펴 봅니다.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

단계 11

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 11.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

단계 11.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

단계 12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

단계 13

$- \sin^{2} (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

단계 14

분수를 더합니다.

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단계 14.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 14.2

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ 에 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 14.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 15

분자를 간단히 합니다.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 16

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ 은 항등식입니다