기초 미적분 예제

$r (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 3, x = 1$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이므로 $x = - 3$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 3$

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 6.1.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 6.1.1.3

간단히 합니다.

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단계 6.1.1.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 6.1.1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 6.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 6.1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 3)}$

단계 6.1.3

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 3)}$

단계 6.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 3}$

단계 6.2

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$1$

단계 6.3

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

단계 6.4

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

단계 6.5

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

단계 6.6

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$

단계 6.7

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$	+	$1$

단계 6.8

피제수 $- 2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$	+	$1$

단계 6.9

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	-	$6$

단계 6.10

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	+	$6$

단계 6.11

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	+	$6$
							+	$7$

단계 6.12

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x - 2 + \frac{7}{x + 3}$

단계 6.13

답을 다항식 부분과 나머지 부분으로 나눕니다.

$x - 2 + \frac{7 x - 7}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 6.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x - 2$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 3$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x - 2$

단계 8