기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 3, x = 0$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이므로 $x = - 3$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 3$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이므로 $x = 0$ 는 수직점근선입니다.

$x = 0$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 3, 0$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.1.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.1.1.3

간단히 합니다.

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단계 8.1.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.1.1.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.1.2

$x^{2} + 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + 3 x}$

단계 8.1.2.2

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x \cdot 3}$

단계 8.1.2.3

$x \cdot x + x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

단계 8.2

$(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 을 전개합니다.

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단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x (x + 3)}$

단계 8.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.6

괄호를 제거합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.7

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.8

$x$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.9

괄호를 제거합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.10

$- 1$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.13

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.14

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.19

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.20

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.21

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.22

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.23

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.24

$- x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.25

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.26

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.27

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.2.28

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x (x + 3)}$

단계 8.3

$x (x + 3)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

단계 8.3.2

$x$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

단계 8.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

단계 8.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x \cdot x + 3 x}$

단계 8.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{1 + 1} + 3 x}$

단계 8.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 8.5

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 8.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

단계 8.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 3 x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

단계 8.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

단계 8.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

단계 8.10

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

단계 8.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$0$
							-	$3 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$3 x^{2}$	-	$9 x$	+	$0$

단계 8.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} - 9 x + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

단계 8.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$1$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$9 x$

$1$

단계 8.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x - 3 + \frac{9 x + 1}{x^{2} + 3 x}$

단계 8.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x - 3$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 3, 0$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x - 3$

단계 10