기초 미적분 예제

$f (x) = 10 - | x |$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $10 - | x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 1.1.2

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x |]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 1.2.2

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$0 - \frac{x}{| x |}$

단계 1.3

$0$ 에서 $\frac{x}{| x |}$ 을 뺍니다.

$- \frac{x}{| x |}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{x}{| x |}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = | x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

$| x |$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5

$\frac{x}{| x |}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$\frac{x}{| x |}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

단계 2.11.2

$- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12

간단히 합니다.

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단계 2.12.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.12.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $| x |$ 을 표현하기 위해 $\frac{| x |}{| x |}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.12.1.3.1

$| x | | x |$ 을 곱합니다.

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단계 2.12.1.3.1.1

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.2

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.3.3

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.1.4

$0$ 을 $| x |$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

단계 2.12.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

단계 2.12.3

$0$ 을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = - 0$

단계 2.12.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

합의 법칙에 의해 $10 - | x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 4.1.1.2

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- | x |]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- | x |$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [| x |]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

단계 4.1.2.2

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$0 - \frac{x}{| x |}$

단계 4.1.3

$0$ 에서 $\frac{x}{| x |}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{x}{| x |}$ 입니다.

$- \frac{x}{| x |}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x}{| x |} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 5.3

$- \frac{x}{| x |} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{| x |}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$| x | = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$0$

단계 9

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 9.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 9.2

1차 도함수 $- \frac{x}{| x |}$ 의 $(- \infty, 0)$ 구간에서 $- 2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

단계 9.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

단계 9.2.2.2

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (- 2) = 1$

단계 9.2.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 9.3

1차 도함수 $- \frac{x}{| x |}$ 의 $(0, \infty)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

단계 9.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

단계 9.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

단계 9.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

단계 9.3.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 1$

단계 9.3.2.4

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 9.4

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극댓값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 10