기초 미적분 예제

$x^{2} - y^{2} = 36$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- y^{2} = 36 - x^{2}$

단계 2

$- y^{2} = 36 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- y^{2} = 36 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 2.2.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{36}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$36$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 36 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

단계 2.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{2} = - 36 + \frac{x^{2}}{1}$

단계 2.3.1.3

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 36 + x^{2}$

단계 3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$

단계 4

$\pm \sqrt{- 36 + x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 6^{2} + x^{2}}$

단계 4.1.2

$- 6^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 6^{2}}$

단계 4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 6$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

단계 5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

단계 5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

$y = - \sqrt{(x + 6) (x - 6)}$

단계 6

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 6) (x - 6)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 6) (x - 6) \geq 0$

단계 7

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

단계 7.2

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 7.2.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 7.3

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 7.4

$(x + 6) (x - 6) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 6, 6$

단계 7.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$x > 6$

단계 7.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 7.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$((- 8) + 6) ((- 8) - 6) \geq 0$

단계 7.6.1.3

좌변 $28$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 7.6.2

$- 6 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$- 6 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 6) ((0) - 6) \geq 0$

단계 7.6.2.3

좌변 $- 36$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 7.6.3

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.3.1

$x > 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 8$

단계 7.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $8$ 로 치환합니다.

$((8) + 6) ((8) - 6) \geq 0$

단계 7.6.3.3

좌변 $28$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 7.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 6$ 거짓

$x > 6$ 참

단계 7.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 6$ 또는 $x \geq 6$

단계 8

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 6] \cup [6, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 6, x \geq 6}$

단계 9

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 10

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 6] \cup [6, \infty), {x | x \leq - 6, x \geq 6}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 11