기초 미적분 예제

$x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$

단계 1

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} + 2 x = - x^{2}$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x$

단계 2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x}$

단계 3

$- x^{2} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x) - 2 x}$

단계 3.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x) + x \cdot - 2}$

단계 3.3

$x (- x) + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x (- x - 2)}$

단계 4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

단계 4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

단계 4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = \sqrt{x (- x - 2)}$

$y = - \sqrt{x (- x - 2)}$

단계 5

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x (- x - 2)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x (- x - 2) \geq 0$

단계 6

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$- x - 2 = 0$

단계 6.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.3

$- x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.3.1

$- x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x - 2 = 0$

단계 6.3.2

$- x - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$- x = 2$

단계 6.3.2.2

$- x = 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.2.1

$- x = 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

단계 6.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

단계 6.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2}{- 1}$

단계 6.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.2.3.1

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = - 2$

단계 6.4

$x (- x - 2) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 6.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

단계 6.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 6.6.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 6.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$(- 4) (- (- 4) - 2) \geq 0$

단계 6.6.1.3

좌변 $- 8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 6.6.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 6.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$(- 1) (- (- 1) - 2) \geq 0$

단계 6.6.2.3

좌변 $1$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 6.6.3

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.6.3.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 6.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$(2) (- (2) - 2) \geq 0$

단계 6.6.3.3

좌변 $- 8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 6.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

단계 6.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 2 \leq x \leq 0$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 2, 0]$

조건제시법:

${x | - 2 \leq x \leq 0}$

단계 8

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 1, 1]$

조건제시법:

${y | - 1 \leq y \leq 1}$

단계 9

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 2, 0], {x | - 2 \leq x \leq 0}$

치역: $[- 1, 1], {y | - 1 \leq y \leq 1}$

단계 10