기초 미적분 예제

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

단계 1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

단계 2

$\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$81 - 9 x^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$81$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

단계 2.1.2

$- 9 x^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

단계 2.1.3

$9 (9) + 9 (- x^{2})$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

단계 2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

단계 2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

단계 2.4

$9 (3 + x) (3 - x)$ 을 $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

단계 2.4.2

괄호를 표시합니다.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

단계 2.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

단계 4

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

단계 5.2

$3 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 + x = 0$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5.3

$3 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 - x = 0$

단계 5.3.2

$3 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 5.3.2.2

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 5.4

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3$

단계 5.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

단계 5.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 5.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

단계 5.6.1.3

좌변 $- 27$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.6.2

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$- 3 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 5.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

단계 5.6.2.3

좌변 $9$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 5.6.3

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 5.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

단계 5.6.3.3

좌변 $- 27$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 5.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 \leq x \leq 3$

단계 6

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 3, 3]$

조건제시법:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

단계 7

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- 9, 9]$

조건제시법:

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

단계 8

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

치역: $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

단계 9