기초 미적분 예제

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

단계 1

방정식의 양변에 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ 를 더합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

단계 2

$1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

하나의 분수로 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

단계 2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

단계 2.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

단계 2.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

단계 2.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

단계 2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

단계 2.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

단계 2.2.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

단계 2.2.3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

단계 2.2.3.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

단계 2.2.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

단계 2.2.3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

단계 2.2.4

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

단계 3

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

단계 4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

단계 4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

단계 4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

단계 4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

단계 4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

단계 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

단계 6

$\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x^{2} - 2 x + 17$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

단계 6.1.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 6.1.3

분수 $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

단계 6.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ 을 묶습니다.

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

단계 7

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

단계 7.3

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

단계 7.4

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

단계 7.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

단계 8

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

단계 9

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

단계 9.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 9.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 17$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.2.2

$- 4$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.3

$4$ 에서 $68$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.4

$- 64$ 을 $- 1 (64)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.7

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

단계 9.4.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm 4 i$

단계 9.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.2.2

$- 4$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.3

$4$ 에서 $68$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.4

$- 64$ 을 $- 1 (64)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.7

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

단계 9.5.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm 4 i$

단계 9.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 1 + 4 i$

단계 9.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.2.2

$- 4$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.3

$4$ 에서 $68$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.4

$- 64$ 을 $- 1 (64)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.7

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

단계 9.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

단계 9.6.3

$\frac{2 \pm 8 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm 4 i$

단계 9.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 1 - 4 i$

단계 9.7

최고차항 계수를 알아냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.7.1

다항식의 선행항은 차수가 가장 높은 항입니다.

$x^{2}$

단계 9.7.2

다항식에서 선행계수는 선행항의 계수입니다.

$1$

단계 9.8

x절편이 실수가 아니고 최고차항 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리며 $x^{2} - 2 x + 17$ 은 항상 $0$ 보다 큽니다.

모든 실수

단계 10

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 11

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

조건제시법:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

단계 12

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

치역: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

단계 13