기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.4

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

단계 4.1.5

$- 14$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 - 16 - 28 + 28$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$0 - 28 + 28$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $28$ 을 뺍니다.

$- 28 + 28$

단계 4.2.3

$- 28$ 를 $28$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$2$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

단계 6.3

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(4)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

단계 6.5

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 14)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

단계 6.7

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 14)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 28)$ 을 피제수 $(28)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{2} - 14$

단계 7

$2 x^{2} - 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

단계 7.2

$- 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

단계 7.3

$2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

단계 8.1.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

단계 8.1.3

$- 14 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

단계 8.1.4

$28$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

단계 8.1.5

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

단계 8.1.6

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

단계 8.1.7

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

단계 8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

단계 8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

단계 8.3

인수분해합니다.

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단계 8.3.1

최대공약수 $x - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

단계 8.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

단계 10

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 10.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 11

$x^{2} - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x^{2} - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 7 = 0$

단계 11.2

$x^{2} - 7 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x^{2} = 7$

단계 11.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{7}$

단계 11.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{7}$

단계 11.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{7}$

단계 11.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

단계 12

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

소수 형태:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

단계 14