기초 미적분 예제

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

단계 1

긴 다항식 나눗셈을 이용하여 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

단계 1.2

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

단계 1.7

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

단계 1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

단계 2

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{3} - x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

단계 2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

단계 2.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

단계 2.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

단계 2.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x^{2} (x - 1)$ 입니다.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.5.2

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.1.2

$A (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.5.1

$B (x^{2} (x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.5.2.5

$B (x (x - 1))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.7

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.8

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.9

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.10

분배 법칙을 적용합니다.

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.11

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.12

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.12.1

공약수로 약분합니다.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

단계 2.6.12.2

$(C) (x^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$B$ 를 옮깁니다.

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

단계 2.7.2

$- A$ 를 옮깁니다.

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

단계 2.7.3

$- x B$ 를 옮깁니다.

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

단계 2.7.4

$A x$ 를 옮깁니다.

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

단계 3

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = B + C$

단계 3.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A - 1 B$

단계 3.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$4 = - 1 A$

단계 3.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

단계 4

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$4 = - 1 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1 A = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

단계 4.1.2

$- 1 A = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1 A = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

단계 4.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

단계 4.1.2.2.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

단계 4.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

단계 4.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$0 = A - 1 B$ 의 $A$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 1 B$ 을 $- B$ 로 바꿔 씁니다.

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3

$0 = - 4 - B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 4 - B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3.3

$- B = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$- B = 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3.3.2.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

단계 4.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$0 = B + C$ 의 $B$ 를 모두 $- 4$ 로 바꿉니다.

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

단계 4.5

$0 = - 4 + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 4 + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

단계 4.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

단계 4.6

연립방정식을 풉니다.

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

단계 4.7

모든 해를 나열합니다.

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

단계 5

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$