기초 미적분 예제

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

단계 1

긴 다항식 나눗셈을 이용하여 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x (x^{2} + 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

단계 1.1.2

$x$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

단계 1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

단계 1.1.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

단계 1.1.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

단계 1.2

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 1.3

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 1.4

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

단계 1.5

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

단계 1.6

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

단계 1.7

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

단계 1.8

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

단계 2

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

단계 2.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

단계 2.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

단계 2.1.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

단계 2.2

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

단계 2.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x^{2} + 1)$ 입니다.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.5

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.5.2

$2 x^{2} + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.1.2

$A (x^{2} + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.4

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 2.6.4.2

$(B x + C) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

단계 2.6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

단계 2.6.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

단계 2.6.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

단계 2.7

$A$ 를 옮깁니다.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

단계 3

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$2 = A + B$

단계 3.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = C$

단계 3.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A$

단계 3.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

단계 4

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

단계 4.2

$A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

단계 4.3

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$2 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 4.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 4.4

$2 = 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$1 + B = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

단계 4.4.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

단계 4.4.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

단계 4.5

연립방정식을 풉니다.

$B = 1 A = 1 C = 0$

단계 4.6

모든 해를 나열합니다.

$B = 1, A = 1, C = 0$

단계 5

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 제거합니다.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

단계 6.2

$(1) \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

단계 6.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$