기초 미적분 예제

$\frac{4 x + 3}{(x + 3) (3 x - 1)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 3}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{3 x - 1}$

단계 1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 3) (3 x - 1)$ 입니다.

$\frac{(4 x + 3) (x + 3) (3 x - 1)}{(x + 3) (3 x - 1)} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.4

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x + 3) (x + 3) (3 x - 1)}{(x + 3) (3 x - 1)} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(4 x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.5

$3 x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(4 x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.5.2

$4 x + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x + 3 = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 x + 3 = \frac{A (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.1.2

$(A) (3 x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x + 3 = (A) (3 x - 1) + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x + 3 = A (3 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x + 3 = 3 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.4

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 x + 3 = 3 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.5

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x + 3 = 3 A x - A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.6

$3 x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.6.1

공약수로 약분합니다.

$4 x + 3 = 3 A x - A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

단계 1.6.6.2

$(B) (x + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x + 3 = 3 A x - A + (B) (x + 3)$

단계 1.6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x + 3 = 3 A x - A + B x + B \cdot 3$

단계 1.6.8

$B$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 x + 3 = 3 A x - A + B x + 3 B$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$A$ 를 옮깁니다.

$4 x + 3 = 3 x A - A + B x + 3 B$

단계 1.7.2

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$4 x + 3 = 3 x A - A + B x + 3 B$

단계 1.7.3

$- A$ 를 옮깁니다.

$4 x + 3 = 3 x A + B x - A + 3 B$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$4 = 3 A + B$

단계 2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$3 = - 1 A + 3 B$

단계 2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$4 = 3 A + B$

$3 = - 1 A + 3 B$

$4 = 3 A + B$

$3 = - 1 A + 3 B$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$4 = 3 A + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$3 A + B = 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 A + B = 4$

$3 = - 1 A + 3 B$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $3 A$ 를 뺍니다.

$B = 4 - 3 A$

$3 = - 1 A + 3 B$

$B = 4 - 3 A$

$3 = - 1 A + 3 B$

단계 3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $4 - 3 A$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 = - 1 A + 3 B$ 의 $B$ 를 모두 $4 - 3 A$ 로 바꿉니다.

$3 = - 1 A + 3 (4 - 3 A)$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 1 A + 3 (4 - 3 A)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$3 = - A + 3 (4 - 3 A)$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.2.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 = - A + 3 \cdot 4 + 3 (- 3 A)$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.2.2.1.1.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 = - A + 12 + 3 (- 3 A)$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.2.2.1.1.4

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 = - A + 12 - 9 A$

$B = 4 - 3 A$

$3 = - A + 12 - 9 A$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.2.2.1.2

$- A$ 에서 $9 A$ 을 뺍니다.

$3 = - 10 A + 12$

$B = 4 - 3 A$

$3 = - 10 A + 12$

$B = 4 - 3 A$

$3 = - 10 A + 12$

$B = 4 - 3 A$

$3 = - 10 A + 12$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3

$3 = - 10 A + 12$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 10 A + 12 = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 10 A + 12 = 3$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.2

$A$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$- 10 A = 3 - 12$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.2.2

$3$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$- 10 A = - 9$

$B = 4 - 3 A$

$- 10 A = - 9$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.3

$- 10 A = - 9$ 의 각 항을 $- 10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$- 10 A = - 9$ 의 각 항을 $- 10$ 로 나눕니다.

$\frac{- 10 A}{- 10} = \frac{- 9}{- 10}$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$- 10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 10 A}{- 10} = \frac{- 9}{- 10}$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.3.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{- 9}{- 10}$

$B = 4 - 3 A$

$A = \frac{- 9}{- 10}$

$B = 4 - 3 A$

$A = \frac{- 9}{- 10}$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 - 3 A$

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 - 3 A$

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 - 3 A$

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 - 3 A$

단계 3.4

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $\frac{9}{10}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$B = 4 - 3 A$ 의 $A$ 를 모두 $\frac{9}{10}$ 로 바꿉니다.

$B = 4 - 3 (\frac{9}{10})$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$4 - 3 (\frac{9}{10})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

$- 3 (\frac{9}{10})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1.1

$- 3$ 와 $\frac{9}{10}$ 을 묶습니다.

$B = 4 + \frac{- 3 \cdot 9}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.1.1.2

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$B = 4 + \frac{- 27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 + \frac{- 27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$B = 4 - \frac{27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = 4 - \frac{27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{10}{10}$ 을 곱합니다.

$B = 4 \cdot \frac{10}{10} - \frac{27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.3

$4$ 와 $\frac{10}{10}$ 을 묶습니다.

$B = \frac{4 \cdot 10}{10} - \frac{27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$B = \frac{4 \cdot 10 - 27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.5.1

$4$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$B = \frac{40 - 27}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.4.2.1.5.2

$40$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$B = \frac{13}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = \frac{13}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = \frac{13}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = \frac{13}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

$B = \frac{13}{10}$

$A = \frac{9}{10}$

단계 3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = \frac{13}{10}, A = \frac{9}{10}$

단계 4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{3 x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{9}{10}}{x + 3} + \frac{\frac{13}{10}}{3 x - 1}$