기초 미적분 예제

$\frac{x}{(x^{2} + 9) (x + 1)}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $C$ 를 적습니다.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$

단계 1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x^{2} + 9) (x + 1)$ 입니다.

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.4

$x^{2} + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.5

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.5.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$x^{2} + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.1.2

$(A x + B) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = (A x + B) (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(A x + B) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = A x (x + 1) + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x = A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.3.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x = A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.3.2

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.3.3

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.4

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

단계 1.6.4.2

$(C) (x^{2} + 9)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + (C) (x^{2} + 9)$

단계 1.6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + C \cdot 9$

단계 1.6.6

$C$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

단계 1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

단계 1.7.2

$B$ 를 옮깁니다.

$x = A x^{2} + A x + B x + C x^{2} + B + 9 C$

단계 1.7.3

$B x$ 를 옮깁니다.

$x = A x^{2} + A x + C x^{2} + B x + B + 9 C$

단계 1.7.4

$A x$ 를 옮깁니다.

$x = A x^{2} + C x^{2} + A x + B x + B + 9 C$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + C$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = B + 9 C$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0 = A + C$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$A + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + C = 0$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- C$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- C$ 로 바꿉니다.

$1 = (- C) + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

단계 3.3

$1 = - C + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- C + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- C + B = 1$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

단계 3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $1 + C$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$0 = B + 9 C$ 의 $B$ 를 모두 $1 + C$ 로 바꿉니다.

$0 = (1 + C) + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$C$ 를 $9 C$ 에 더합니다.

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5

$0 = 1 + 10 C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$1 + 10 C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + 10 C = 0$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$10 C = - 1$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5.3

$10 C = - 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$10 C = - 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5.3.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

단계 3.6

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $- \frac{1}{10}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$B = 1 + C$ 의 $C$ 를 모두 $- \frac{1}{10}$ 로 바꿉니다.

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

단계 3.6.2

$B = 1 - \frac{1}{10}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

단계 3.6.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.1

$1 - \frac{1}{10}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$B = \frac{10}{10} - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

단계 3.6.2.2.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$B = \frac{10 - 1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

단계 3.6.2.2.1.3

$10$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

단계 3.6.3

$A = - C$ 의 $C$ 를 모두 $- \frac{1}{10}$ 로 바꿉니다.

$A = - (- \frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

단계 3.6.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1

$- (- \frac{1}{10})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A = 1 (\frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

단계 3.6.4.1.2

$\frac{1}{10}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{9}{10}, C = - \frac{1}{10}$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{10 x} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

단계 5

$\frac{1}{10}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{10} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$