기초 미적분 예제

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 5 x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

단계 1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

단계 4.2

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

단계 5.2

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$